根据相关法律法规，敲诈勒索罪名的犯罪嫌疑人被采取刑事拘留措施的最长期限为37天。
在案件的侦查阶段，该期限通常设置为3天，但如遇特殊情形，例如案件涉及流窜作案、多次作案或团伙作案等复杂因素时，拘留期限可依法延长1至4天。
而对于此类重大嫌疑分子，拘留期限则可延长至30天。
在此期间内，检察机关应在收到公安机关提请逮捕申请后的7个工作日内，做出是否批准逮捕的决定。
若检察机关未予批准逮捕，公安机关须在接获通知后立即执行释放程序。

《中华人民共和国刑事诉讼法》第九十一条
【提请批捕和审查批捕的时限】公安机关对被拘留的人，认为需要逮捕的，应当在拘留后的三日以内，提请人民检察院审查批准。在特殊情况下，提请审查批准的时间可以延长一日至四日。
对于流窜作案、多次作案、结伙作案的重大嫌疑分子，提请审查批准的时间可以延长至三十日。
人民检察院应当自接到公安机关提请批准逮捕书后的七日以内，作出批准逮捕或者不批准逮捕的决定。人民检察院不批准逮捕的，公安机关应当在接到通知后立即释放，并且将执行情况及时通知人民检察院。对于需要继续侦查，并且符合取保候审、监视居住条件的，依法取保候审或者监视居住。