对于涉嫌违法经营文物并遭刑事拘留的人士来说，其被羁留的法定期限通常不会超出三十七日这个期限。
然而，值得注意的是，刑事拘留仅仅是一项暂时性的法律强制措施，而非最终的司法判决结果。
若案件的实际情况较为复杂，需要进行更为深入的调查取证工作，那么拘留期限有可能会相应地予以延长。
然而，在确定是否构成犯罪以及量刑方面，必须结合案件的各种具体细节情况加以全面评估，这些因素包括所经营文物的数量、市场价值、文物的历史和文化价值等等。

《中华人民共和国刑事诉讼法》第九十一条
【提请批捕和审查批捕的时限】公安机关对被拘留的人，认为需要逮捕的，应当在拘留后的三日以内，提请人民检察院审查批准。在特殊情况下，提请审查批准的时间可以延长一日至四日。
对于流窜作案、多次作案、结伙作案的重大嫌疑分子，提请审查批准的时间可以延长至三十日。
人民检察院应当自接到公安机关提请批准逮捕书后的七日以内，作出批准逮捕或者不批准逮捕的决定。人民检察院不批准逮捕的，公安机关应当在接到通知后立即释放，并且将执行情况及时通知人民检察院。对于需要继续侦查，并且符合取保候审、监视居住条件的，依法取保候审或者监视居住。