关于刑事拘留之后申请取保候审的最佳期限问题，一般的认知是在被拘留的第37天之内进行。
这是因为根据我国相关法律规定，公安机关若对被拘留者认为具备逮捕条件时，应于拘留之后的三日内提交人民检察院进行审查审批。
而在特殊情况下，如极为复杂或案件涉及人数众多等情形时，提请审查批准的时间则可顺延一日至四日。
同时，针对那些流窜作案、有多次犯罪记录以及结伙作案的重大嫌疑人而言，其提请审查批准的时间甚至可以延长至三十日之久。
在此基础上，人民检察院也必须在接到公安机关提交的批准逮捕申请书后的七日内，做出是否批准逮捕的最终决定。
因此，在这37天的期限内提出取保候审申请，成功的概率相对较高。

《中华人民共和国刑事诉讼法》第九十一条
【提请批捕和审查批捕的时限】公安机关对被拘留的人，认为需要逮捕的，应当在拘留后的三日以内，提请人民检察院审查批准。在特殊情况下，提请审查批准的时间可以延长一日至四日。
对于流窜作案、多次作案、结伙作案的重大嫌疑分子，提请审查批准的时间可以延长至三十日。
人民检察院应当自接到公安机关提请批准逮捕书后的七日以内，作出批准逮捕或者不批准逮捕的决定。人民检察院不批准逮捕的，公安机关应当在接到通知后立即释放，并且将执行情况及时通知人民检察院。对于需要继续侦查，并且符合取保候审、监视居住条件的，依法取保候审或者监视居住。