在犯罪嫌疑人被正式通知逮捕或采取其他强制措施后的刑事拘留期间，申请司法鉴定应该通过书面形式向主管该案的公安机关或者司法机构提出。
首先，作为申请人，您必须明确鉴定所要达到的具体目的以及所涉及的具体事项，详细阐述这些内容对于此案件调查进程的重要性以及必要性。
其次，您提交的申请文件中必须包含与您的请求相关的初步证据或者合理的解释性陈述，以此来支撑您进行鉴定的请求。
在刑事拘留阶段，司法机构将会对您的申请进行全面的审查，并结合案件的实际情况、鉴定的必要性以及可行性等多方面因素进行综合考量。

《中华人民共和国刑事诉讼法》第一百四十八条
【鉴定意见的告知义务对鉴定意见的异议及其处理】侦查机关应当将用作证据的鉴定意见告知犯罪嫌疑人、被害人。如果犯罪嫌疑人、被害人提出申请，可以补充鉴定或者重新鉴定。