若涉案人员由于涉嫌参与非法赌博活动而受到刑事拘禁，依照我国《中华人民共和国刑事诉讼法》第34条规定，从侦查机关对其实施首次问询或采取强制措施的日期算起，该涉案人员便享有合法的指定代理辩护人的权力。
同时，侦查机关有责任明确告知该名涉案人员他有权委托律师担任辩护人。
涉案人员在此时可自由选择委托律师进行自行辩护，或者允许其监护人、最近亲属代为指定辩护人来维护自己的权益。
一旦辩护人获得了当事人的委托，他们必须立即通知负责处理此案的相关机构。
因此，对于涉案人员来说，尽早指定辩护人是至关重要的。
辩护人能够为其提供专业的法律指导和援助，帮助他理解自己的权利和义务，保障他的合法权益，并且在接下来的法律程序中为他提供有力的辩护支持。

《中华人民共和国刑事诉讼法》第三十四条
犯罪嫌疑人自被侦查机关第一次讯问或者采取强制措施之日起，有权委托辩护人；
在侦查期间，只能委托律师作为辩护人。被告人有权随时委托辩护人。
侦查机关在第一次讯问犯罪嫌疑人或者对犯罪嫌疑人采取强制措施的时候，应当告知犯罪嫌疑人有权委托辩护人。人民检察院自收到移送审查起诉的案件材料之日起三日以内，应当告知犯罪嫌疑人有权委托辩护人。人民法院自受理案件之日起三日以内，应当告知被告人有权委托辩护人。犯罪嫌疑人、被告人在押期间要求委托辩护人的，人民法院、人民检察院和公安机关应当及时转达其要求。
犯罪嫌疑人、被告人在押的，也可以由其监护人、近亲属代为委托辩护人。
辩护人接受犯罪嫌疑人、被告人委托后，应当及时告知办理案件的机关。