依据《中华人民共和国刑事诉讼法》第九十一条之规定，公安部门在对已被羁押收监之人，若判定有必要进行逮捕，应在收监之后的三日内向人民检察院提交书面申请以待审批。而在特定情境之下，如遇案件极为错综复杂或犯罪嫌疑人行为难以揣摩之时，提请审查批准的时间可依次延长一至四日。对于那些流窜作案、多次作案以及结伙作案的重大嫌疑分子，其提请审查批准的时间则可延长至三十日。人民检察院在收到公安部门提交的批准逮捕申请书后，应在七日内做出是否批准逮捕的决定。因此，在一起案件中，倘若犯罪嫌疑人被公安部门依法羁押，并提请人民检察院审查批准逮捕，依照相关法律规定，此过程理论上可在三日至三十日之间完成，具体时长取决于案件的复杂性及犯罪嫌疑人的具体状况。若经人民检察院批准逮捕，则犯罪嫌疑人将被正式逮捕，并可能面临更为深入的刑事诉讼程序。反之，若人民检察院未批准逮捕，公安部门应在接获通知后立即释放犯罪嫌疑人，同时将执行情况及时告知人民检察院。

《中华人民共和国刑事诉讼法》第九十一条
公安机关对被拘留的人，认为需要逮捕的，应当在拘留后的三日以内，提请人民检察院审查批准。在特殊情况下，提请审查批准的时间可以延长一日至四日。
对于流窜作案、多次作案、结伙作案的重大嫌疑分子，提请审查批准的时间可以延长至三十日。
人民检察院应当自接到公安机关提请批准逮捕书后的七日以内，作出批准逮捕或者不批准逮捕的决定。人民检察院不批准逮捕的，公安机关应当在接到通知后立即释放，并且将执行情况及时通知人民检察院。对于需要继续侦查，并且符合取保候审、监视居住条件的，依法取保候审或者监视居住。