根据我国《刑事诉讼法》的明确规定，公安机关对涉嫌犯罪的人员实施刑事拘留时，其法定执行期限通常不得超过三十七日。该期限既包含了由侦查机关自行决定的拘留期限最长期限为三十日，同时也涵盖了在特定情形下，经过检察机关批准，拘留期限可延长至最多七日的情况。然而，这并不代表在三十七日后一定会将嫌疑人予以释放，若案件情况所需，嫌疑人仍有可能面临被依法逮捕的命运。

《中华人民共和国刑事诉讼法》第八十九条：
公安机关对被拘留的人，认为需要逮捕的，应当在拘留后的三日以内，提请人民检察院审查批准。在特殊情况下，提请审查批准的时间可以延长一日至四日。
对于流窜作案、多次作案、结伙作案的重大嫌疑分子，提请审查批准的时间可以延长至三十日。
人民检察院应当自接到公安机关提请批准逮捕书后的七日以内，作出批准逮捕或者不批准逮捕的决定。