根据相关法律法规，对于涉嫌犯有寻衅滋事罪的嫌疑人，通常情况下在其被拘留期满之后的第十四天之内，即应进行正式逮捕手续。
然而，如果公安机关认为该嫌疑人需要受到进一步的司法程序审理和惩处，则有权在嫌疑人被羁押期满之后的三个自然日内，向人民法院提交针对该嫌疑人的审查批捕申请。
在某些特殊情况下，这一期限可适当延长一至四个自然日。
而作为司法监督机构的人民检察院，则需在收到公安机关递交的审查批捕申请后的七个自然日内，做出是否批准逮捕的决定。
此外，《中华人民共和国刑事诉讼法》第九十一条明确规定，公安机关在对被拘留的犯罪嫌疑人进行调查时，若认为其需要接受逮捕并接受进一步的司法程序审理和惩处，则应在拘留期满之后的三个自然日内，向人民检察院提出审查批捕申请。
在特殊情况下，这一期限可适当延长一至四个自然日。
对于那些流窜作案、多次作案或结伙作案的重大嫌疑分子，公安机关向人民检察院提出审查批捕申请的期限甚至可以延长至三十个自然日。
人民检察院在收到公安机关递交的审查批捕申请后，应在七个自然日内做出是否批准逮捕的决定。
如人民检察院未批准逮捕，公安机关应在收到通知后立即释放该嫌疑人，同时将执行情况及时告知人民检察院。
对于需要继续进行侦查工作，且符合取保候审或监视居住条件的嫌疑人，公安机关应依法采取相应措施，确保其合法权益得到保障。

《刑法》第二百九十三条
【寻衅滋事罪】有下列寻衅滋事行为之一，破坏社会秩序的，处五年以下有期徒刑、拘役或者管制：
（一）随意殴打他人，情节恶劣的；
（二）追逐、拦截、辱骂、恐吓他人，情节恶劣的；
（三）强拿硬要或者任意损毁、占用公私财物，情节严重的；
（四）在公共场所起哄闹事，造成公共场所秩序严重混乱的。
纠集他人多次实施前款行为，严重破坏社会秩序的，处五年以上十年以下有期徒刑，可以并处罚金。