在涉嫌刑事犯罪被警方羁押六十余日的案例中，这往往是表明案件已正式启动调查流程的标志。亲属或其指定的辩护律师们可以密切关切并留意是否已经收到关于逮捕的书面通知。若尚未接到逮捕令，那么案件或许仍然处于审查起诉阶段。在这种情况下，涉案人员有权利选择委托专业律师为自己辩护，以便深入了解整个事件的来龙去脉，并且获得必要的法律援助和支持。
同时，律师也可以依法申请与当事人进行会面，以确保其合法权益得到充分保障。
值得注意的是，根据我国《刑事诉讼法》的相关规定，刑事拘留的最长期限一般不得超过三十七天，如遇特殊情况需要延长，必须严格按照法定程序执行。

《中华人民共和国刑事诉讼法》第九十一条：
“公安机关对被拘留的人，认为需要逮捕的，应当在拘留后的三日以内，提请人民检察院审查批准。在特殊情况下，提请审查批准的时间可以延长一日至四日。对于流窜作案、多次作案、结伙作案的重大嫌疑分子，提请审查批准的时间可以延长至三十日。人民检察院应当自接到公安机关提请批准逮捕书后的七日以内，作出批准逮捕或者不批准逮捕的决定。”