依据《中华人民共和国刑事诉讼法》中第九十一条的明确规定，倘若公安部门对于已被拘留的相关人士，认为其有必要进行逮捕的话，那么应在拘留之后的三个自然日内，向人民检察院提出申请，等待其进行审查以及批准。
然而，在特定情况下，提请人民检察院审查批准的时间是可以予以适当延长，上限为一天到四天。针对那些流窜作案、反复作案以及结伙犯罪的重大嫌疑人来说，他们的审查批准时间则可能会被延长至三十天。人民检察院在接收到公安部门提交的提请批准逮捕书之后，必须在七个自然日内，做出是否批准逮捕的决定。若人民检察院未能批准逮捕，公安部门应该在接到通知后立即释放相关人员，并将执行情况及时告知人民检察院。若仍需进一步调查，且符合取保候审或监视居住条件的，则依法采取相应措施。因此，在寻衅滋事刑事拘留事件发生后，通常情况下，公安部门应在三个自然日内提请人民检察院审查批准逮捕。
如若审查批准的时间有所延长，最长可达到三十天。而人民检察院则应在七个自然日内做出最终决定。若人民检察院未能批准逮捕，公安部门应立即释放相关嫌疑人。因此，寻衅滋事刑事拘留后放人的具体时间，主要取决于案件的具体情况及司法机关的审查决定。

《中华人民共和国刑事诉讼法》第九十一条公安机关对被拘留的人，认为需要逮捕的，应当在拘留后的三日以内，提请人民检察院审查批准。在特殊情况下，提请审查批准的时间可以延长一日至四日。
对于流窜作案、多次作案、结伙作案的重大嫌疑分子，提请审查批准的时间可以延长至三十日。
人民检察院应当自接到公安机关提请批准逮捕书后的七日以内，作出批准逮捕或者不批准逮捕的决定。人民检察院不批准逮捕的，公安机关应当在接到通知后立即释放，并且将执行情况及时通知人民检察院。对于需要继续侦查，并且符合取保候审、监视居住条件的，依法取保候审或者监视居住。”