根据我国相关法律法规，当律师在羁押场所会见犯罪嫌疑人或被告人时，该过程属于免费服务，无需由当事人或者家属支付相应费用。至于律师的服务费用，一般情况下是由聘请律师的当事人或者其家属通过直接与律师事务所进行协商后达成共识，然而看守所自身并不会针对会见环节向律师收取任何形式的费用。这一制度设计充分彰显出我国法律对于保障犯罪嫌疑人和被告人合法权益的高度重视和坚决支持，即他们有权得到公正、有效的法律援助。

《中华人民共和国刑事诉讼法》第三十三条犯罪嫌疑人、被告人除自己行使辩护权以外，还可以委托一至二人作为辩护人。下列的人可以被委托为辩护人：
(一)律师；
(二)人民团体或者犯罪嫌疑人、被告人所在单位推荐的人；
(三)犯罪嫌疑人、被告人的监护人、亲友。
正在被执行刑罚或者依法被剥夺、限制人身自由的人，不得担任辩护人。
被开除公职和被吊销律师、公证员执业证书的人，不得担任辩护人，但系犯罪嫌疑人、被告人的监护人、近亲属的除外。