依据我国《中华人民共和国刑事诉讼法》第九十一条之规定，司法机关对于已处于拘留状态的嫌疑人，若判定有必要进行逮捕，应在拘留期限届满后的三日内，向人民检察院提出请示，以获取审查批准。在特定情形下，这一期限可延长一至四个工作日。针对那些流串作案、反复作案和结伙作案等重大犯罪嫌疑人员，其提请审查批准的时间更是可延长至最长为三十日。人民检察院须在接收到公安机关提交的提请批准逮捕书后的七日之内，对此案做出批准逮捕或是不予批准逮捕的决定。若遇人民检察院不予批准逮捕的情形，公安机关需在接到通知之日起立刻释放嫌疑人，且同时将执行情况及时报告给人民检察院。
如若需进一步侦查，且该嫌疑人符合法定的取保候审或监视居住条件，则应依法对其采取相应的强制措施。综上所述，刑事拘留37天之后的处理方式，完全取决于人民检察院的审查批准结果。若人民检察院批准逮捕，公安机关将严格按照相关法律程序执行逮捕；反之，若人民检察院未予批准逮捕，公安机关将依法释放被拘留人，并视具体情况决定是否对其采取取保候审或监视居住措施。

《中华人民共和国刑事诉讼法》第九十一条公安机关对被拘留的人，认为需要逮捕的，应当在拘留后的三日以内，提请人民检察院审查批准。在特殊情况下，提请审查批准的时间可以延长一日至四日。
对于流窜作案、多次作案、结伙作案的重大嫌疑分子，提请审查批准的时间可以延长至三十日。
人民检察院应当自接到公安机关提请批准逮捕书后的七日以内，作出批准逮捕或者不批准逮捕的决定。人民检察院不批准逮捕的，公安机关应当在接到通知后立即释放，并且将执行情况及时通知人民检察院。对于需要继续侦查，并且符合取保候审、监视居住条件的，依法取保候审或者监视居住。”