依据《中华人民共和国刑事诉讼法》第九十一条明文规定，当公安部门在拘押某位嫌疑人之后，若其认定有必要将其捕获，应于拘留之后的三个自然日内，向当地检察院提出申请进行审核批准。在此种特殊情形之下，也就是涉及到流窜作案、屡次犯案或参与人数众多等大型暴力活动的重大嫌疑分子时，提请审查批准的期限可适当延长一天至四天。而对于人民检察院来说，他们应该在接收到公安部门提交的提请批准逮捕书后的七个自然日内，做出批准逮捕或是不予批准逮捕的决定。关于诈骗三千元是否构成犯罪以及是否需要进行刑事拘留，这需要根据实际情况由公安部门进行判断。如果公安部门认为有必要进行逮捕，那么他们将会按照上述法律规定向人民检察院提出申请进行审核批准。一旦人民检察院批准了逮捕，那么该名犯罪嫌疑人就会被依法逮捕并且可能会面临刑事拘留。
至于拘留的具体天数则要视案件的具体情况和公安部门的决定而定，然而根据上述法条，拘留后提请审查批准的期限最长可以延长至三十天。因此，诈骗三千元的刑事拘留天数需要根据案件的具体情况和公安部门的决定来确定，但根据现行法律，拘留后提请审查批准的期限最长可以延长至三十天。

《中华人民共和国刑事诉讼法》第九十一条公安机关对被拘留的人，认为需要逮捕的，应当在拘留后的三日以内，提请人民检察院审查批准。在特殊情况下，提请审查批准的时间可以延长一日至四日。
对于流窜作案、多次作案、结伙作案的重大嫌疑分子，提请审查批准的时间可以延长至三十日。
人民检察院应当自接到公安机关提请批准逮捕书后的七日以内，作出批准逮捕或者不批准逮捕的决定。人民检察院不批准逮捕的，公安机关应当在接到通知后立即释放，并且将执行情况及时通知人民检察院。对于需要继续侦查，并且符合取保候审、监视居住条件的，依法取保候审或者监视居住。”