依据《中华人民共和国刑事诉讼法》第九十一条之明确规定，公安部门在对已被拘留者进行案件调查过程中，若认定其存在必要进行逮捕之情形，应在被拘留后的三个自然日内，依法向人民检察院提出审查批准申请。
然而，在某些特定情况下，此项申请的期限可适当延长一天至四天。对于那些流窜作案、多次作案以及结伙作案的重大犯罪嫌疑人而言，其审查批准的时间则可进一步延长至三十天。在此期间内，人民检察院有责任在收到公安部门提交的审查批准逮捕申请书之后的七个自然日内，做出是否批准逮捕的决定。因此，倘若涉及到寻衅滋事罪名的嫌疑人在被拘留之后，公安部门认为有必要对其实施逮捕，那么他们应该在拘留后的三个自然日内向人民检察院提出审查批准申请。在特殊情况下，该申请的期限可以适当延长至四天。而对于那些被认定为流窜作案、多次作案以及结伙作案的重大犯罪嫌疑人来说，他们的审查批准申请的期限则可以进一步延长至三十天。人民检察院在收到公安部门提交的审查批准逮捕申请书之后，必须在七个自然日内做出是否批准逮捕的决定。

《中华人民共和国刑事诉讼法》第九十一条公安机关对被拘留的人，认为需要逮捕的，应当在拘留后的三日以内，提请人民检察院审查批准。在特殊情况下，提请审查批准的时间可以延长一日至四日。
对于流窜作案、多次作案、结伙作案的重大嫌疑分子，提请审查批准的时间可以延长至三十日。
人民检察院应当自接到公安机关提请批准逮捕书后的七日以内，作出批准逮捕或者不批准逮捕的决定。人民检察院不批准逮捕的，公安机关应当在接到通知后立即释放，并且将执行情况及时通知人民检察院。对于需要继续侦查，并且符合取保候审、监视居住条件的，依法取保候审或者监视居住。”