一般而言，当犯罪嫌疑人因涉嫌刑事罪名而被公安机关依法实施拘留之时，依据相关规定，家属应于拘留后的48个小时之内接到公安机关的正式通知。关于犯罪嫌疑人会见律师的问题，我国现行的《中华人民共和国刑事诉讼法》第三十九条已经进行明确规定，即，从犯罪嫌疑人、被告人被司法机关采取强制措施之刻起，辩护律师便有权随时与其会面，且此种权利不受时间上的任何限制。因此，一旦犯罪嫌疑人家属决定聘请律师作为辩护人，那么律师便可立即着手安排与犯罪嫌疑人的会面事宜，并无特定的时间限制。
然而，在实际操作过程中，由于侦查阶段保密性的需求，部分情况下可能会导致律师会见的时间有所推迟，但这并不影响法律对律师会见权的保护和支持。

《中华人民共和国刑事诉讼法》第三十九条：
辩护律师可以同在押的犯罪嫌疑人、被告人会见和通信。其他辩护人经人民法院、人民检察院许可，也可以同在押的犯罪嫌疑人、被告人会见和通信。
辩护律师持律师执业证书、律师事务所证明和委托书或者法律援助公函要求会见在押的犯罪嫌疑人、被告人的，看守所应当及时安排会见，至迟不得超过四十八小时。
危害国家安全犯罪、恐怖活动犯罪案件，在侦查期间辩护律师会见在押的犯罪嫌疑人，应当经侦查机关许可。上述案件，侦查机关应当事先通知看守所。
辩护律师会见在押的犯罪嫌疑人、被告人，可以了解案件有关情况，提供法律咨询等；自案件移送审查起诉之日起，可以向犯罪嫌疑人、被告人核实有关证据。辩护律师会见犯罪嫌疑人、被告人时不被监听。