倘若涉案者因构成交通肇事罪而遭受刑事拘留，则其将有可能在约三个自然日内接受提请批准逮捕的程序。
依据我国《中华人民共和国刑事诉讼法》之相关规定，公安机关对于已被依法拘留之人，若认定需予以逮捕，应当于拘留期限结束后的第三个自然日内，向人民检察院提交审查批准申请。在特殊情况之下，提请审查批准时间可适当延长一天至四天不等。

《刑事诉讼法》
第八十九条公安机关对被拘留的人，认为需要逮捕的，应当在拘留后的三日以内，提请人民检察院审查批准。在特殊情况下，提请审查批准的时间可以延长一日至四日。
对于流窜作案、多次作案、结伙作案的重大嫌疑分子，提请审查批准的时间可以延长至三十日。
人民检察院应当自接到公安机关提请批准逮捕书后的七日以内，作出批准逮捕或者不批准逮捕的决定。人民检察院不批准逮捕的，公安机关应当在接到通知后立即释放，并且将执行情况及时通知人民检察院。对于需要继续侦查，并且符合取保候审、监视居住条件的，依法取保候审或者监视居住。