依据我国《中华人民共和国刑事诉讼法》的明确规定，在案件达成和解协议的情况下，公安机构有权向上一级人民检察院提议给予罪犯从轻处置的建议。同样地，人民检察院也有权力向具有审判权的人民法院提出从宽处罚的倡议。在特殊情况下，如果犯罪情节轻微、无需判处刑法的，检察院甚至可以做出不起诉决定。而人民法院则可以根据案件具体情况，依法对被告人进行宽大处理。因此，对于公诉故意伤害罪这样的刑事案件，当事人之间能够通过协商达成和解是完全可行的。

《中华人民共和国刑事诉讼法》第二百九十条
对于达成和解协议的案件，公安机关可以向人民检察院提出从宽处理的建议。人民检察院可以向人民法院提出从宽处罚的建议；对于犯罪情节轻微，不需要判处刑罚的，可以作出不起诉的决定。人民法院可以依法对被告人从宽处罚。