根据相关法律规定，盗窃案的最长法定追诉时效为20年，若案件超过此期限，将被视为超过追诉时效而无法再进行刑事追究。
因此，警方可能会在接近或超过20年的期限时停止调查此案。
然而，若公安机关对于某起盗窃案件已依法立案并进入处理程序，那么该盗窃案件便不受20年追诉期的约束，即便此案的立案时间超过20年，公安机关仍有权继续展开调查。
在这种情况下，根据盗窃金额的不同，涉案人员可能面临较轻的治安处罚或者较为严重的刑事责任，其追诉时效分别为6个月或者5年。
值得注意的是，如果这些案件的追诉时效到期且未出现任何特殊情况，即便是进行报警，警方可能也不会予以受理，抑或是受理后仅针对个别情况进行轻微处置，如撤销案件等。
此外，根据我国刑法规定，犯罪行为经过下列期限之后将不再被追诉：
（1）当法定最高刑为五年有期徒刑或更轻时，若犯罪行为发生之日起经过五年,便不再被追诉；
（2）当法定最高刑为十年有期徒刑或更重时，若犯罪行为发生之日起经过十年,便不再被追诉；
（3）当法定最高刑为十五年有期徒刑或更重时，若犯罪行为发生之日起经过十五年,便不再被追诉；
（4）当法定最高刑为无期徒刑或死刑时，若犯罪行为发生之日起经过二十年,便不再被追诉。
但需要指出的是，如果在二十年后仍认为必须对此类罪犯进行刑事追究，则需上报至最高人民检察院进行核准。

《中华人民共和国刑法》第八十七条
犯罪经过下列期限不再追诉：
（1）法定最高刑为不满五年有期徒刑的经过五年；
（2）法定最高刑为五年以上不满十年有期徒刑的经过十年；
（3）法定最高刑为十年以上有期徒刑的经过十五年；
（4）法定最高刑为无期徒刑、死刑的经过二十年。如果二十年以后认为必须追诉的须报请最高人民检察院核准。