敲诈勒索罪的相关立案费用往往由国家层面负责支付，原因在于此案属于刑事诉讼程序的组成部分。
根据《中华人民共和国刑事诉讼法》的明文规定，所有涉及到刑事诉讼的费用均应由国家财政负担。换言之，当天津市的律师代理敲诈勒索罪案件时，其所产生的律师费用原则上不应当由受害者或者被告人承担，除非存在其他法律规定或者双方当事人之间有特殊约定。

《中华人民共和国刑事诉讼法》第二百零七条
人民法院、人民检察院和公安机关进行刑事诉讼，应当保障犯罪嫌疑人、被告人和其他诉讼参与人依法享有的诉讼权利。对于没有委托辩护人的犯罪嫌疑人、被告人，人民法院、人民检察院和公安机关应当通知法律援助机构指派律师为其提供辩护。