周口市在执行敲诈勒索罪的立案标准时，严格遵守中国全国范围内的刑法相关规定。
根据《中华人民共和国刑法》第二百七十四条的明确规定，对于敲诈勒索公私财产，且数额较大或存在多次敲诈勒索行为的情况，应当依法予以立案追究刑事责任。关于具体的数额标准，则是由最高人民法院和最高人民检察院联合发布的司法解释进行明确，通常情况下，其金额应在人民币三千元至一万元以上。
然而，若行为人存在其他严重情节，即便未能达到上述数额标准，亦有可能被认定为犯罪行为。

《中华人民共和国刑法》第二百七十四条：
敲诈勒索公私财物，数额较大或者多次敲诈勒索的，处三年以下有期徒刑、拘役或者管制，并处或者单处罚金；数额巨大或者有其他严重情节的，处三年以上十年以下有期徒刑，并处罚金；数额特别巨大或者有其他特别严重情节的，处十年以上有期徒刑，并处罚金。