六十天之内。
公安机关侦查的时间最长就是六十天，特殊情况下经依法批准可以延长1到5个月。
立案后抓捕犯罪嫌疑人的期限没有规定。
要立案追究的，必须是依照相关法律规定构成犯罪的行为。
立案应当而且只能对犯罪行为进行。
如果不是犯罪的行为，就不能立案。
情节显著轻微，危害不大，不认为是犯罪的，就不应立案。

《中华人民共和国刑事诉讼法》第九十一条公安机关对被拘留的人，认为需要逮捕的，应当在拘留后的三日以内，提请人民检察院审查批准。
在特殊情况下，提请审查批准的时间可以延长一日至四日。
对于流窜作案、多次作案、结伙作案的重大嫌疑分子，提请审查批准的时间可以延长至三十日。
人民检察院应当自接到公安机关提请批准逮捕书后的七日以内，作出批准逮捕或者不批准逮捕的决定。
人民检察院不批准逮捕的，公安机关应当在接到通知后立即释放，并且将执行情况及时通知人民检察院。
对于需要继续侦查，并且符合取保候审、监视居住条件的，依法取保候审或者监视居住。