关于在刑事拘留阶段申请取保候审的时间安排问题，并无法给出确切的最佳时间段。
一般而言，积极争取尽早提出此类申请对于维护当事人合法权益最为有利。
在刑事拘留的37日内，公安机关将按照相关规定向检察机关提请批捕。
在此关键时期，若能够提出充足有力的取保候审理由及相应证据，例如犯罪情节轻微且可能被判处管制、拘役或者独立适用附加刑，以及身患严重疾病等情况，则有望提高获得批准的几率。
然而，这并不意味着申请取保候审就一定能够成功，还需要结合案件的具体性质、犯罪嫌疑人所具有的社会危害性程度以及对案件侦查工作的潜在影响等多方面因素进行全面评估。
我们强烈建议寻求专业律师的帮助，以便及时掌握案件的最新动态，搜集有利于申请人的证据材料，进而为申请取保候审奠定坚实的基础。