具体而言，在遭遇刑事拘留之后，申请取保候审并无固定的最佳期限。
从普遍的情况来看，越早就提出申请，成功获准的几率也就越大。
在绝大多数情况下，自被采取强制措施以后的第37天起，公安部门会向检察院递交提请逮捕的申请报告，因此若能在此之前着手申请并顺利得到批准，则取保候审的可能性将相对较高。
然而，这并不代表超过37天便无法提出申请，只要相关案件的实际情形符合取保候审的法定条件，那么在整个刑事诉讼程序期间均可进行申请。

《中华人民共和国刑事诉讼法》第六十七条
【取保候审的条件与执行】人民法院、人民检察院和公安机关对有下列情形之一的犯罪嫌疑人、被告人，可以取保候审：
（一）可能判处管制、拘役或者独立适用附加刑的；
（二）可能判处有期徒刑以上刑罚，采取取保候审不致发生社会危险性的；
（三）患有严重疾病、生活不能自理，怀孕或者正在哺乳自己婴儿的妇女，采取取保候审不致发生社会危险性的；
（四）羁押期限届满，案件尚未办结，需要采取取保候审的。
取保候审由公安机关执行。