关于涉嫌触犯了非法拘禁罪行的被告人寻求取保候审理程序的详细内容如下所述：
首先，犯罪嫌疑人或被告人以及他们的法定代理人、近亲可能会向负责案件审理的司法机构递交取保候审的申请。
其次，收到取保候审申请书之后，司法机构会在七个工作日内进行充分考虑并作出是否批准的决定。
此后，如果决定批准取保候审，司法机构将下令要求犯罪嫌疑人、被告人提供保证金或交付保证人作为担保。
最后，这一任务通常由公安机关来执行。

《刑事诉讼法》第六十七条
人民法院、人民检察院和公安机关对有下列情形之一的犯罪嫌疑人、被告人，可以取保候审：
（一）可能判处管制、拘役或者独立适用附加刑的；
（二）可能判处有期徒刑以上刑罚，采取取保候审不致发生社会危险性的；
（三）患有严重疾病、生活不能自理，怀孕或者正在哺乳自己婴儿的妇女，采取取保候审不致发生社会危险性的；
（四）羁押期限届满，案件尚未办结，需要采取取保候审的。
取保候审由公安机关执行。