依据相关法律法规，当事人因涉嫌犯罪而被公安机关刑事拘留之后，申请取保候审并无确定的天数限制。
通常情况下，公安机关若决定将仍处于拘留状态中的人员提请人民检察院进行审查批准逮捕，则应在拘留期限（即三日）内完成此项工作。
然而，在某些特定情形下，如案件涉及流窜作案、多次作案或团伙作案等情况，公安机关可将提请审查批准的时间向后顺延一天至四天。
在此过程中，无论何种情况，当事人均有权提出取保候审的请求。

《中华人民共和国刑事诉讼法》第九十一条
【提请批捕和审查批捕的时限】公安机关对被拘留的人，认为需要逮捕的，应当在拘留后的三日以内，提请人民检察院审查批准。在特殊情况下，提请审查批准的时间可以延长一日至四日。
对于流窜作案、多次作案、结伙作案的重大嫌疑分子，提请审查批准的时间可以延长至三十日。
人民检察院应当自接到公安机关提请批准逮捕书后的七日以内，作出批准逮捕或者不批准逮捕的决定。人民检察院不批准逮捕的，公安机关应当在接到通知后立即释放，并且将执行情况及时通知人民检察院。对于需要继续侦查，并且符合取保候审、监视居住条件的，依法取保候审或者监视居住。