刑事拘留期长达37日之后，申请相关人员能否取保候审，需根据具体案情进行评估与判断。
若案件进展状况发生变化且犯罪嫌疑人符合取保候审的特定条件，那么仍存在取得取保候审权利的可能性。
取保候审作为一种刑事诉讼过程中的强制性措施，主要目的在于保障未受逮捕或是已被逮捕但需更改强制措施的犯罪嫌疑人、被告人，避免其逃避调查、起诉及审判的程序，而要求其提供担保者或者缴纳定金，同时出具保证书，确保其随警随到，不对其实施羁押或暂时解除其羁押状态。
根据我国《中华人民共和国刑事诉讼法》的明确规定，人民法院、人民检察院以及公安机关对于具有以下几种情形的犯罪嫌疑人、被告人，均可批准实施取保候审：
（1）可能判处管制、拘役或者独立适用附加刑的；
（2）可能判处有期徒刑以上刑罚，采取取保候审不会导致社会危害性的；
（3）患有严重疾病、生活无法自理，孕妇或者正在哺乳自己婴儿的妇女，采取取保候审不会导致社会危害性的；
（4）羁押期限届满，案件尚未办结，需要采取取保候审的。

《中华人民共和国刑事诉讼法》第六十七条
【取保候审的条件与执行】人民法院、人民检察院和公安机关对有下列情形之一的犯罪嫌疑人、被告人，可以取保候审：
（一）可能判处管制、拘役或者独立适用附加刑的；
（二）可能判处有期徒刑以上刑罚，采取取保候审不致发生社会危险性的；
（三）患有严重疾病、生活不能自理，怀孕或者正在哺乳自己婴儿的妇女，采取取保候审不致发生社会危险性的；
（四）羁押期限届满，案件尚未办结，需要采取取保候审的。
取保候审由公安机关执行。