根据我国相关法律法规，犯罪嫌疑人在被采取拘留强制措施后，若被公安机关认定为需要进行逮捕，公安机关应在规定期限内即拘留最长三日内，向人民检察院递交逮捕申请请示报告。
在某些特殊状况下，提请审查批准的起算日期及截止日期均可相应顺延，顺延时间最多为四日。
而对于那些流窜作案、多次作案或结伙作案的重大嫌疑人员，提请审查批准的最长期限则可由三十日延长至三十日。
人民检察院作为我国的司法监管机构，根据公安机关提交的逮捕申请请示报告，需在收到之日起七日内做出是否批准逮捕的决定。
因此，从理论上讲，犯罪嫌疑人在被拘留后，其家属或律师最早可在第三十七天提出取保候审申请，但这并非绝对，因为在刑事案件审判过程中的任意阶段，只要符合相应条件，便可提出取保候审申请。

《中华人民共和国刑事诉讼法》第九十一条
【提请批捕和审查批捕的时限】公安机关对被拘留的人，认为需要逮捕的，应当在拘留后的三日以内，提请人民检察院审查批准。在特殊情况下，提请审查批准的时间可以延长一日至四日。
对于流窜作案、多次作案、结伙作案的重大嫌疑分子，提请审查批准的时间可以延长至三十日。
人民检察院应当自接到公安机关提请批准逮捕书后的七日以内，作出批准逮捕或者不批准逮捕的决定。人民检察院不批准逮捕的，公安机关应当在接到通知后立即释放，并且将执行情况及时通知人民检察院。对于需要继续侦查，并且符合取保候审、监视居住条件的，依法取保候审或者监视居住。