网络犯罪行为的涉案人员申请取保候审的流程通常按照如下步骤来实施：
首先是被指控者、以及他们的法定代理人、与案件有关的近亲或辩护律师有权向司法机关提交取保候审的申请。
在书面申请中，必须详细阐述申请人的个人信息、申请取保候审的具体原因等相关内容。
在申请取保候审时，需要充分考虑到犯罪嫌疑人所面临的社会危害程度、犯罪行为的严重程度、以及可能会被判处的刑罚等多方面因素。
若犯罪情节相对轻微，可能会被判处管制、拘役或者独立适用附加刑的；
或者可能会被判处有期徒刑以上刑罚，但通过采取取保候审措施不会对社会产生重大危害的等情况，都有较大的可能性能够得到批准。

《中华人民共和国刑事诉讼法》第六十七条
【取保候审的条件与执行】人民法院、人民检察院和公安机关对有下列情形之一的犯罪嫌疑人、被告人，可以取保候审：
（一）可能判处管制、拘役或者独立适用附加刑的；
（二）可能判处有期徒刑以上刑罚，采取取保候审不致发生社会危险性的；
（三）患有严重疾病、生活不能自理，怀孕或者正在哺乳自己婴儿的妇女，采取取保候审不致发生社会危险性的；
（四）羁押期限届满，案件尚未办结，需要采取取保候审的。
取保候审由公安机关执行。