关于犯罪嫌疑人被刑事拘留之后向警方申请取保候审，并无固定的天数限制。
通常情况下，在执行公安机关依法对其进行的强制措施——即刑事拘留期间，只要犯罪嫌疑确有遵守取保候审相关规定的意愿且同时具备以下数项条件之一者，即可提出此类请求：首先，最常见的就是嫌疑人的行为依法可能处以刑事处罚，但如果在取保候审期间严格遵循相应规定，那么便不会再引发其他严重的社会危害性；
其次，倘若嫌疑人存在身体患有轻重不等的疾病或是因为生活上无法自理等原因，以及处在孕期或哺乳期阶段，同样原则上可以申请取保候审而不对社会造成不利影响；
此外，有时即使羁押期限已经届满，仍未能解决案件的全部事项，这时为了保障诉讼程序的顺利进行，也可以尝试使用取保候审制度。

《中华人民共和国刑事诉讼法》第六十七条
【取保候审的条件与执行】人民法院、人民检察院和公安机关对有下列情形之一的犯罪嫌疑人、被告人，可以取保候审：
（一）可能判处管制、拘役或者独立适用附加刑的；
（二）可能判处有期徒刑以上刑罚，采取取保候审不致发生社会危险性的；
（三）患有严重疾病、生活不能自理，怀孕或者正在哺乳自己婴儿的妇女，采取取保候审不致发生社会危险性的；
（四）羁押期限届满，案件尚未办结，需要采取取保候审的。
取保候审由公安机关执行。