在涉及到刑事拘留的问题上，公安机关享有自行提议将被拘留者取保候审的权力。
然而，这种可能性往往依赖于案件本身的详细情况以及犯罪嫌疑人的具体特征。
如果涉及到的罪行整体来看程度较轻，犯罪嫌疑人所带来的社会危害性相对较低，或者在某些特定情况下，例如犯罪嫌疑人的健康状况不佳等，公安机关可能会考虑主动为其申请取保候审。
根据我国《中华人民共和国刑事诉讼法》的相关规定，以下几种情况下的犯罪嫌疑人、被告人，可以由人民法院、人民检察院和公安机关进行取保候审：（1）可能被判处管制、拘役或者独立适用附加刑的；
（2）可能被判处有期徒刑以上刑罚，且通过取保候审不会导致社会危险性的；
（3）患有严重疾病、生活无法自理，或者正处于孕期或哺乳期的妇女，通过取保候审也不会引发社会危险性的；
（4）在审判期间，若羁押期限已满，而案件仍未审理完毕，则需要采取取保候审措施。
值得注意的是，即便公安机关并未主动提出取保候审，犯罪嫌疑人、被告人及其法定代理人、近亲属或者辩护人仍然拥有申请取保候审的权利。

《中华人民共和国刑事诉讼法》第六十七条
【取保候审的条件与执行】人民法院、人民检察院和公安机关对有下列情形之一的犯罪嫌疑人、被告人，可以取保候审：
（一）可能判处管制、拘役或者独立适用附加刑的；
（二）可能判处有期徒刑以上刑罚，采取取保候审不致发生社会危险性的；
（三）患有严重疾病、生活不能自理，怀孕或者正在哺乳自己婴儿的妇女，采取取保候审不致发生社会危险性的；
（四）羁押期限届满，案件尚未办结，需要采取取保候审的。
取保候审由公安机关执行。