在执行拘留阶段能否申请保释，这还需依据个案实际情况进行细致判断。
总体而言，倘若被拘禁者满足特定的条件，那么他们便有可能获得保释。
而这些保释的前提条件通常涵盖以下几个方面：首先，犯罪嫌疑人或被告可能会被判处管制、拘役或是独立适用附加刑；
其次，若可能被判处有期徒刑以上的刑罚，但采取取保候审措施并不会对社会造成危害；
再者，若犯罪嫌疑人身患严重疾病、生活无法自理，或者是孕妇或正在哺乳期的母亲，采取取保候审也不会对社会构成威胁；
最后，若羁押期限已满，案件仍未审理完毕，此时也需要采取取保候审措施。

《中华人民共和国刑事诉讼法》第六十七条
【取保候审的条件与执行】人民法院、人民检察院和公安机关对有下列情形之一的犯罪嫌疑人、被告人，可以取保候审：
（一）可能判处管制、拘役或者独立适用附加刑的；
（二）可能判处有期徒刑以上刑罚，采取取保候审不致发生社会危险性的；
（三）患有严重疾病、生活不能自理，怀孕或者正在哺乳自己婴儿的妇女，采取取保候审不致发生社会危险性的；
（四）羁押期限届满，案件尚未办结，需要采取取保候审的。
取保候审由公安机关执行。