在经过刑事拘留阶段之后，被拘押人员通常有权在公安部门进行案件调查之初便提出取保候审的请求，然而在实际操作过程中，申请取保候审的最佳时机往往出现在刑事拘留期的第37天之内。
根据相关法律条例，刑事拘留的时间规定为10日至14日不等，如果涉及到流窜犯罪、频繁作案、团伙作案等较为严重的违法行为者，其拘留期则可延长至最多37天。

《中华人民共和国刑事诉讼法》第六十七条
【取保候审的条件与执行】人民法院、人民检察院和公安机关对有下列情形之一的犯罪嫌疑人、被告人，可以取保候审：
（一）可能判处管制、拘役或者独立适用附加刑的；
（二）可能判处有期徒刑以上刑罚，采取取保候审不致发生社会危险性的；
（三）患有严重疾病、生活不能自理，怀孕或者正在哺乳自己婴儿的妇女，采取取保候审不致发生社会危险性的；
（四）羁押期限届满，案件尚未办结，需要采取取保候审的。
取保候审由公安机关执行。