对于涉嫌行贿犯罪的嫌疑人申请取保候审而言，遵循以下固定的流程至关重要：首先，该嫌疑人本人及与其具有法律上承认关系的近亲家属以及辩护律师依法享有向办案机构提出申请取保候审的权利。
在提出申请时，申请人需要提交详细完备的书面申请书，阐述明确的取保候审理由。
其次，当办案机关接到取保候审申请之后，应当按照规定的期限对其进行严格细致的审查。
若是经过广泛深入的调查研究和评估，发现该嫌疑人符合取保候审的各项条件，那么办案机关将依法要求嫌疑人、被告人提供保证人或缴纳相应数额的保证金。
最后，在取保候审期间，嫌疑人、被告人必须严格遵守相关的法律法规和规章制度，例如未经执行机关的批准，不得擅自离开所居住的城市、县区等地。

《中华人民共和国刑事诉讼法》第六十七条
【取保候审的条件与执行】人民法院、人民检察院和公安机关对有下列情形之一的犯罪嫌疑人、被告人，可以取保候审：
（一）可能判处管制、拘役或者独立适用附加刑的；
（二）可能判处有期徒刑以上刑罚，采取取保候审不致发生社会危险性的；
（三）患有严重疾病、生活不能自理，怀孕或者正在哺乳自己婴儿的妇女，采取取保候审不致发生社会危险性的；
（四）羁押期限届满，案件尚未办结，需要采取取保候审的。
取保候审由公安机关执行。