关于公安机关立案后向检察院提出取保候审申请的时限，并未有明确的法律法规进行规制。
通常来讲，在刑事诉讼的三个重要阶段（即侦查阶段、审查起诉阶段及审判阶段）中，涉及到的犯罪嫌疑人和被告人，以及其被赋予法定代表权的近亲家属或辩护律师均享有申请取保候审的权利。
然而，是否能够通过申请取得取保候审的许可，则需结合案件本身的性质、情节严重程度、对社会潜在风险的考量，以及犯罪嫌疑人和被告人的个体状况等多方面因素进行全面评估与判断。

《中华人民共和国刑事诉讼法》第六十七条
【取保候审的条件与执行】人民法院、人民检察院和公安机关对有下列情形之一的犯罪嫌疑人、被告人，可以取保候审：
（一）可能判处管制、拘役或者独立适用附加刑的；
（二）可能判处有期徒刑以上刑罚，采取取保候审不致发生社会危险性的；
（三）患有严重疾病、生活不能自理，怀孕或者正在哺乳自己婴儿的妇女，采取取保候审不致发生社会危险性的；
（四）羁押期限届满，案件尚未办结，需要采取取保候审的。
取保候审由公安机关执行。