在暂行监外执行过程中，37天的期限是从被拘押者遭受刑事拘留的那一刻开始进行计算。
根据惯例，公安机构作为拘留实施主体，若察觉到被拘留人士有必要实施逮捕，则应于拘留行动结束之后的三个工作日内，提交当地人民检察院进行审查和批准。
在某些特殊情况下，提交审查和批准的期限可予以适当延长，上下浮动范围为一日至四日。
而针对那些流离失所、罪行累累或犯罪团伙中的重大嫌疑人，提交审查和批准的期限则可顺延至30日。
当地人民检察院在收到公安机构提交的逮捕申请批准书后，应在七日内做出是否批准逮捕的决定。

《中华人民共和国刑事诉讼法》第九十一条
【提请批捕和审查批捕的时限】公安机关对被拘留的人，认为需要逮捕的，应当在拘留后的三日以内，提请人民检察院审查批准。在特殊情况下，提请审查批准的时间可以延长一日至四日。
对于流窜作案、多次作案、结伙作案的重大嫌疑分子，提请审查批准的时间可以延长至三十日。
人民检察院应当自接到公安机关提请批准逮捕书后的七日以内，作出批准逮捕或者不批准逮捕的决定。人民检察院不批准逮捕的，公安机关应当在接到通知后立即释放，并且将执行情况及时通知人民检察院。对于需要继续侦查，并且符合取保候审、监视居住条件的，依法取保候审或者监视居住。