在遭遇刑事拘留之后，申请执行取保候审的程序并无明确的法律时限予以规定。
通常情况下，在侦查环节中，公安机关有权依据相关法律法规将涉嫌犯罪的嫌疑人员进行刑事拘留，且在此过程中，若满足了取保候审的各项条件，即可向有关部门提出申请获取相应的批准许可。
下面，我们来详细探讨决定是否给予取保候审的具体考量因素：首先是根据案件情况，判断其有可能被判处行政处罚中的管制，拘役或附加独立适用的刑法条款；
其次，考虑到其是否会面临有期徒刑以上的刑事处罚，若采取取保候审措施则不会对社会产生潜在危害性；
如涉及到患有严重身心健康问题以致无法自行处理日常生活事宜，孕妇或正在哺乳期内的女性，以及因羁押期限已满而案件尚未结案，都可视作所需变更为取保候审的特定状况。

《中华人民共和国刑事诉讼法》第六十七条
【取保候审的条件与执行】人民法院、人民检察院和公安机关对有下列情形之一的犯罪嫌疑人、被告人，可以取保候审：
（一）可能判处管制、拘役或者独立适用附加刑的；
（二）可能判处有期徒刑以上刑罚，采取取保候审不致发生社会危险性的；
（三）患有严重疾病、生活不能自理，怀孕或者正在哺乳自己婴儿的妇女，采取取保候审不致发生社会危险性的；
（四）羁押期限届满，案件尚未办结，需要采取取保候审的。
取保候审由公安机关执行。