在犯罪嫌疑人被警方拘留十三日后，获取保释候审相关程序实施过程中通常包含如下关键步骤：首先，犯罪嫌疑人、被告人以及其法定代理人均有权向负责该案审理的办案机关提交获得保释候审的申请。
随后，当办案机关收到上述申请人的申请并启动审理程序之后，他们将会在预定时间范围之内进行详细审查。
在此过程中，办案机关将全面评估犯罪嫌疑人、被告人的社会危害性、案件的严重程度、情节发展以及可能面临的刑罚等多方面因素。
若经审查后决定给予犯罪嫌疑人、被告人保释候审，则办案机关将依法要求其提供担保人或缴纳相应数额的保证金。
紧接着，犯罪嫌疑人、被告人必须严格遵守保释候审期间的各项规定，例如未经执行机关许可不得擅自离开所居住的城市、县区；
若住址、工作单位及联系方式发生变更，应在二十四小时内及时向执行机关汇报等。

《中华人民共和国刑事诉讼法》第六十七条
【取保候审的条件与执行】人民法院、人民检察院和公安机关对有下列情形之一的犯罪嫌疑人、被告人，可以取保候审：
（一）可能判处管制、拘役或者独立适用附加刑的；
（二）可能判处有期徒刑以上刑罚，采取取保候审不致发生社会危险性的；
（三）患有严重疾病、生活不能自理，怀孕或者正在哺乳自己婴儿的妇女，采取取保候审不致发生社会危险性的；
（四）羁押期限届满，案件尚未办结，需要采取取保候审的。
取保候审由公安机关执行。