对于饮酒驾车并遭逮捕后申请取保候审一事，其批准机构通常为公安机关或人民检察院这两者。
若饮酒驾车行为达到了醉驾的法定标准，则可能会被认定构成危险驾驶罪。
在整个刑事诉讼程序中，公安机关、人民检察院以及人民法院都有权利决定是否对犯罪嫌疑人或被告采取取保候审措施。
然而，在案件的侦查阶段，取保候审的批准权往往掌握在公安机关手中。

《中华人民共和国刑事诉讼法》第六十七条
【取保候审的条件与执行】人民法院、人民检察院和公安机关对有下列情形之一的犯罪嫌疑人、被告人，可以取保候审：
（一）可能判处管制、拘役或者独立适用附加刑的；
（二）可能判处有期徒刑以上刑罚，采取取保候审不致发生社会危险性的；
（三）患有严重疾病、生活不能自理，怀孕或者正在哺乳自己婴儿的妇女，采取取保候审不致发生社会危险性的；
（四）羁押期限届满，案件尚未办结，需要采取取保候审的。
取保候审由公安机关执行。