在刑事诉讼活动中，当事人被拘役或者逮捕后37天内的任何时刻获得取保候审通知书是存在可能性的。
根据我国相关法律法规规定，刑事案件中的拘留期限通常设定为10日，但在特殊情况下可延长至14日；
而对于那些流窜作案、多次作案以及结伙作案的重大嫌疑分子而言，其拘留期限则最长可达37日之久。
在此期间内，若公安机关或检察机关认为对犯罪嫌疑人继续羁押已无必要，便有权依法作出取保候审的决定。

《中华人民共和国刑事诉讼法》第六十七条
【取保候审的条件与执行】人民法院、人民检察院和公安机关对有下列情形之一的犯罪嫌疑人、被告人，可以取保候审：
（一）可能判处管制、拘役或者独立适用附加刑的；
（二）可能判处有期徒刑以上刑罚，采取取保候审不致发生社会危险性的；
（三）患有严重疾病、生活不能自理，怀孕或者正在哺乳自己婴儿的妇女，采取取保候审不致发生社会危险性的；
（四）羁押期限届满，案件尚未办结，需要采取取保候审的。
取保候审由公安机关执行。