根据相关法律规定，在对犯罪嫌疑人或者被告人实施的强制措施中，取保候审的刑事拘留期上限为37日。这个时间段包含了公安机关的最长拘留期限（最多可达30日）以及检察机关在对其进行审查并作出是否批准逮捕决定的时间（最高不超过7日）。在这段时间内，若满足取保候审的具体条件和要求，无论是犯罪嫌疑人还是被告人都有机会获得该项权利。

《中华人民共和国刑事诉讼法》第九十一条
公安机关对被拘留的人，认为需要逮捕的，应当在拘留后的三日以内，提请人民检察院审查批准。在特殊情况下，提请审查批准的时间可以延长一日至四日。对于流窜作案、多次作案、结伙作案的重大嫌疑分子，提请审查批准的时间可以延长至三十日。