在涉及到非法吸收公众存款的案件审理过程中，通常情况下，申请取保候审的职责会落在犯罪嫌疑人或者他们的法定代理人和辩护律师身上。在提出申请的过程中，申请者必须以书面形式向办案机构（通常情况下，这将是公安机关或是检察院）递交相关文件，同时还需附带提供担保人或者保证金等相应的材料支持。

《中华人民共和国刑事诉讼法》第六十七条
人民法院、人民检察院和公安机关对有下列情形之一的犯罪嫌疑人、被告人，可以取保候审：
(一)可能判处管制、拘役或者独立适用附加刑的；
(二)可能判处有期徒刑以上刑罚，采取取保候审不致发生社会危险性的；
(三)患有严重疾病、生活不能自理，怀孕或者正在哺乳自己婴儿的妇女，采取取保候审不致发生社会危险性的；
(四)羁押期限届满，案件尚未办结，需要采取取保候审的。