在刑事案件中，申请取保候审的权力通常由犯罪嫌疑人和他们的家人或者辩护律师向负责该案件的相关执法机构提出。在法院、检察院以及公安机关经过全面审查并确认满足所有适用条件后，才会有权利决定是否采取取保候审这种法律手段。在提出申请的过程中，必须以书面形式进行，同时还需提供担保人或者缴纳一定数额的保证金作为保证。

《中华人民共和国刑事诉讼法》第六十七条
人民法院、人民检察院和公安机关对有下列情形之一的犯罪嫌疑人、被告人，可以取保候审：
(一)可能判处管制、拘役或者独立适用附加刑的；
(二)可能判处有期徒刑以上刑罚，采取取保候审不致发生社会危险性的；
(三)患有严重疾病、生活不能自理，怀孕或者正在哺乳自己婴儿的妇女，采取取保候审不致发生社会危险性的；
(四)羁押期限届满，案件尚未办结，需要采取取保候审的。