在我国的刑事诉讼过程中，所提到的“取保候审的37天”通常是指在侦查阶段所能适用的最长拘留期限。自犯罪嫌疑人被依法刑事拘留之日起，公安机关应当在30个自然日内完成案件的侦查工作，若因特殊情况需要延长侦查期限，则必须向同级人民检察院提出申请并获得批准，且每次延长的最长期限为14天。因此，将上述两种情况相加，便可以得出在整个刑事诉讼程序中，犯罪嫌疑人可能会面临的最长拘留期限为37天。这种制度设计旨在保护犯罪嫌疑人的合法权益，避免其遭受无限期的羁押之苦。

《中华人民共和国刑事诉讼法》第八十九条
公安机关对被拘留的人，认为需要逮捕的，应当在拘留后的三日以内，提请人民检察院审查批准。在特殊情况下，提请审查批准的时间可以延长一日至四日。
对于流窜作案、多次作案、结伙作案的重大嫌疑分子，提请审查批准的时间可以延长至三十日。
人民检察院应当自接到公安机关提请批准逮捕书后的七日以内，作出批准逮捕或者不批准逮捕的决定。