在涉及刑事犯罪的审判过程中，如何进行取保候审的申请和手续流程如下所述：
首先，应当是符合取保候审条件的涉案当事人，如犯罪嫌疑人、被告人或者他们的代理律师、直系亲属等，以书面形式向负责案件审理的相关部门提交申请；
其次，当公检法机关经过审查后，认为可以准予取保候审的，应当依法要求犯罪嫌疑人、被告人提供保证人或者缴纳保证金作为担保措施；
最后，由公安机关负责具体实施并执行相关法律程序。

《刑事诉讼法》第六十七条
人民法院、人民检察院和公安机关对有下列情形之一的犯罪嫌疑人、被告人，可以取保候审：
（一）可能判处管制、拘役或者独立适用附加刑的；
（二）可能判处有期徒刑以上刑罚，采取取保候审不致发生社会危险性的；
（三）患有严重疾病、生活不能自理，怀孕或者正在哺乳自己婴儿的妇女，采取取保候审不致发生社会危险性的；
（四）羁押期限届满，案件尚未办结，需要采取取保候审的。
取保候审由公安机关执行。
第六十八条
人民法院、人民检察院和公安机关决定对犯罪嫌疑人、被告人取保候审，应当责令犯罪嫌疑人、被告人提出保证人或者交纳保证金。