在公安机关展开调查期间，犯罪嫌疑人有权提出取保候审的请求。
根据我国现行《中华人民共和国刑事诉讼法》第六十七条之规定，公诉机关、检察院及公安机关对于具有特定情形的嫌疑人和被告，可以准予其申请取保候审。这些特殊情形涵盖了如可能被判处管制、拘役或并处独立适用附加刑罚、有可能被判处有期徒刑以上刑罚且采取取保候审措施不会导致社会公共安全风险增加等各种情况。所以，只要当事人所面临的情况符合相关法律条款的规定，那么在公安机关进行调查期间，确实是可以依法申请办理取保候审手续的。

《中华人民共和国刑事诉讼法》第六十七条
人民法院、人民检察院和公安机关对有下列情形之一的犯罪嫌疑人、被告人，可以取保候审：
(一)可能判处管制、拘役或者独立适用附加刑的；
(二)可能判处有期徒刑以上刑罚，采取取保候审不致发生社会危险性的；
(三)患有严重疾病、生活不能自理，怀孕或者正在哺乳自己婴儿的妇女，采取取保候审不致发生社会危险性的；
(四)羁押期限届满，案件尚未办结，需要采取取保候审的。
取保候审由公安机关执行。