在涉及到上海市辖区内的寻衅滋事罪案件处理过程中，被指控方及其家属应当寻求律师的协助，以获取法律上的支持和援助。在此基础之上，相关律师将与公安部门进行沟通，并根据具体情况提交取保候审的申请。接下来，公安机关将会对该申请进行严格的审核，如果他们认为申请符合相关规定，便会依法做出取保候审的决定。在这个环节中，通常需要提供担保人或者交纳一定的保证金以作为约束之用。最终，一旦取保候审获得批准，公安机关会启动执行程序，同时对被指控者开展必要的监督管理工作。

《中华人民共和国刑事诉讼法》第六十七条：人民法院、人民检察院和公安机关对有下列情形之一的犯罪嫌疑人、被告人，可以取保候审：
(一)可能判处管制、拘役或者独立适用附加刑的；
(二)可能判处有期徒刑以上刑罚，采取取保候审不致发生社会危险性的；
(三)患有严重疾病、生活不能自理，怀孕或者正在哺乳自己婴儿的妇女，采取取保候审不致发生社会危险性的；
(四)羁押期限届满，案件尚未办结，需要采取取保候审的。