关于是否能够在新近遭遇刑事拘留后立即申请取保候审，这取决于具体的案件情况和相关法律法规的要求。
根据《中华人民共和国刑事诉讼法》的相关规定，若犯罪嫌疑人身处的情况满足了取保候审的条件，例如可能会被判处管制、拘役或者独立适用附加刑，或者可能会被判处有期徒刑以上刑罚，且采取取保候审措施不会对社会产生任何危害性的情况下，便可提出取保候审的申请。
然而，最终能否获得批准，则需由公安机关、人民检察院或人民法院进行综合评估并作出决定。

《中华人民共和国刑事诉讼法》第六十七条
人民法院、人民检察院和公安机关对有下列情形之一的犯罪嫌疑人、被告人，可以取保候审：
（一）可能判处管制、拘役或者独立适用附加刑的；
（二）可能判处有期徒刑以上刑罚，采取取保候审不致发生社会危险性的；
（三）患有严重疾病、生活不能自理，怀孕或者正在哺乳自己婴儿的妇女，采取取保候审不致发生社会危险性的；
（四）羁押期限届满，案件尚未办结，需要采取取保候审的。
取保候审由公安机关执行。