办理取保候审流程所涉及到的主要机构包括公安机关、人民检察院以及人民法院等三大司法机关。
根据相关法律法规规定，在案件审理过程中，对于犯罪嫌疑人或被告人，人民法院、人民检察院及公安机关有权根据实际情形，通过拘留、取保候审或监视居住等方式进行强制措施控制。

《中华人民共和国刑事诉讼法》第六十六条
人民法院、人民检察院和公安机关根据案件情况，对犯罪嫌疑人、被告人可以拘传、取保候审或者监视居住。
第六十八条
人民法院、人民检察院和公安机关决定对犯罪嫌疑人、被告人取保候审，应当责令犯罪嫌疑人、被告人提出保证人或者交纳保证金。