当儿童在幼儿园期间遭受伤害时，保险公司所提供的赔偿款项通常会按照规定支付至该儿童的法定监护人手中。
这是由于作为未成年人的主要监护人，他们对于孩子的医疗费用以及其他相关事宜具有不可推卸的管理与支配责任。
然而，若幼儿园已经预先为孩子支付了相关的治疗费用，并且保险公司的赔偿范围也包含了这笔垫付款项的话，那么保险公司可能会直接将赔偿款支付给幼儿园。
关于具体的赔偿对象及支付方式，还需要根据保险合同中的详细条款以及相关法律法规的具体规定来进行确定。

《中华人民共和国民法典》第一千一百八十八条
无民事行为能力人、限制民事行为能力人造成他人损害的，由监护人承担侵权责任。监护人尽到监护职责的，可以减轻其侵权责任。
有财产的无民事行为能力人、限制民事行为能力人造成他人损害的，从本人财产中支付赔偿费用；不足部分，由监护人赔偿。