当您正深陷于保险公司拒绝赔付的困扰之中时，是否享有请求对方承担相应利息之权？这个疑问的答案受到案件具体细节和法官决策影响颇大。
一般来说，仅仅存在以下两种情况时，您才有机会通过法律途径追偿利息并得到法院支持：
首先，如果保险公司原本应该按照保险合同所承诺的赔偿义务履行赔偿责任；
其次，投保方并没有严重违反保险合同中的约定。
反之，如果保险公司拒绝赔付、只对部分损失进行赔偿或存在延迟赔付等不正当行为，您可以考虑寻求专业律师的帮助，启动相关诉讼程序，并在诉讼过程中提出关于利息支付的主张。
然而，值得注意的是，最终能否成功获得利息支付，还需依赖法官根据事实与法律做出公正的判断。
另外，假如保险公司的拒赔决定具有充分合理性的理由，比如被保险人所遭受的风险事件并不符合保险条款中所规定的理赔条件，那么保险公司将无需支付任何利息，甚至有可能无需退还已缴纳的保费。
综上所述，如果您不幸遇到保险公司拒绝赔付的情况，我们强烈建议您立即咨询专业律师，以全面了解自己的合法权益以及可行的解决方案。
至于是否能够成功索取利息支付，这完全取决于法律判决的结果。

《保险法》第五十七条规定：投保人对保险公司理赔决定不服的，可以依据保险合同约定或者与保险公司协商解决；协商不成的，可以申请仲裁或者向人民法院提起诉讼。